By Manfred Dobrowolski

ISBN-10: 3540253955

ISBN-13: 9783540253952

In diesem Lehrbuch werden die Methoden der Funktionalanalysis mit ihren Anwendungen in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Gleichzeitig werden dem Leser die analytischen und funktionalanalytischen S?tze n?her gebracht, die f?r die numerische Approximation elliptischer (und anderer) Differentialgleichungen bedeutsam sind. Neben dem klassischen Stoff der linearen Funktionalanalysis werden daher ausf?hrlich die Sobolevschen Funktionenr?ume (auch von negativer und gebrochener Ordnung) sowie die Existenz- und Regularit?tstheorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Besonderer Wert wird auf die Umsetzung der Funktionalanalysis gelegt, additionally der Anwendung der abstrakten Theorie auf den konkreten Fall. Dies geschieht durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen. Zahlreiche sorgf?ltig ausgew?hlte und kommentierte Aufgaben runden die Darstellung ab.

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Und p : X → sei ein ur alle sublineares Funktional. Weiter sei f : M → linear mit f (x) ≤ p(x) f¨ x ∈ M. Dann gibt es ein lineares F : X → mit F |M = f und −p(−x) ≤ F (x) ≤ p(x) f¨ ur alle x ∈ X. Beweis. Sei M = X. W¨ ahle ein x1 ∈ X \ M und setze M1 = {x + tx1 : x ∈ M, t ∈ }. ur x, y ∈ M gilt M1 ist offenbar ein Vektorraum. F¨ daher f (x) + f (y) = f (x + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x − x1 ) + p(x1 + y), f (x) − p(x − x1 ) ≤ p(y + x1 ) − f (y). Da die rechte Seite nicht von x abh¨ angt, ist die linke f¨ ur alle x ∈ M durch eine Zahl a beschr¨ankt.

19. (2) Sei a ∈ mit |a| = 1. Bestimmen Sie die Matrix der orthogonalen Projektion vom n auf die Hyperebene ✄ ✄ H = {x ∈ n ✄ : ax = 0}. Hinweis: Sei z die Projektion von y auf H. Dann ist y − z ⊥ H, also ein Vielfaches von a. 20. (3) Beweisen Sie den folgenden Satz. Sei E ⊂ C 0 ( n ). Wenn E gleichgradig stetig ist und wenn eine beschr¨ ankte mit limt→∞ f (t) = 0 existiert, so daß Funktion f : [0, ∞) → ✄ ✄ |u(x)| ≤ f (|x|) 0 f¨ ur alle x ∈ dann ist E relativ kompakt in (C ( ✄ n ), · n ✄ und u ∈ E, ∞ ).

Jedem x ∈ X kann man, wenn der Halbstrahl tx, t ≥ 0, nicht ganz in C enthalten ist, ein x auf dem Rande von C zuordnen. Setze p(x) = x / x wenn x existiert, 0 x sonst. 0 p gen¨ ugt den Bedingungen p(x) < 1 f¨ ur x ∈ C, x C p(x) ≥ 1 f¨ ur x ∈ / C. 2) Weil C offen ist mit 0 ∈ C, enth¨ alt C auch eine Kugel B1/d (0). Es gilt also p(x) ≤ 1 f¨ ur x ≤ 1/d und, weil nach Definition p(tx) = tp(x) f¨ ur t ≥ 0, p(x) ≤ d x ∀x ∈ X. Wir zeigen die Dreiecksungleichung f¨ ur p. 2) s−1 x, t−1 y ∈ C. 2), s −1 t s x + t−1 y ∈ C u u p(u−1 (x + y)) < 1, also p(x + y) < u.

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Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen German by Manfred Dobrowolski


by Brian
4.4

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